Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов 
. Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества
изk элементов.
Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор 
элементов множестваХ.
Если выбор элементов множества 
изХ происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле 
(размещения с повторениями).
Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается 
и определяется равенством
(размещения без повторений).
Пример. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.
Решение. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет 
. Если цифры не повторяются, то
.
Пример. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?
Решение. Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения: 
Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно 
.
Пример. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет 
. А три книги можно переставлять между собой
способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно:
*
=3!*28!
Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество 
(порядок элементов в подмножестве не имеет значения).Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается 
и равно
.
Справедливы равенства: 
,
,
.
Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний: 
.
При решении задач комбинаторики используют следующие правила:
Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.
Пример. Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?
Решение. Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами выбор туфель. По принципу умножения получается 4*5*3=60 нарядов (комбинаций).
По материалам studfiles.net
предлагаю Вам разработки контрольных работ для 3 класса (Школа 2100)
Контрольная работа №1 по математике
Тема: «Повторение изученного во 2 классе»
Реши уравнения с проверкой
а) Ребята нашли в лесу 28 подберезовиков. Это на 13 больше, чем подосиновиков. Сколько всего грибов нашли ребята?
б) У Вали 27 открыток, а у Гали 9. Во сколько раз у Гали меньше открыток, чем у Вали?
а) Построй прямоугольник со сторонами 3см и 6 см.
б) Найди площадь и периметр построенного прямоугольника.
Удочка состоит из удилища, лески и крючка. У ребят есть 2 удилища: бамбуковое и орешниковое, 3 лески: белая, желтая и зеленая, а так же 2 крючка: большой и маленький. Сколько различных удочек могут сделать ребята?
Проведи в квадрате слева несколько отрезков так, чтобы получились такие же фигуры, как справа (см.тетрадь для контрольных работ).
Реши уравнения с проверкой
а)На полках 42 альбома.. Это на 15 меньше, чем журналов. Сколько всего альбомов и журналов на полках?
б) У Коли 24 компьютерные игры, а у Толи 8. Во сколько раз у Коли больше компьютерных игр, чем у Толи?
а) Построй прямоугольник со сторонами 4см и 5 см.
б) Найди площадь и периметр построенного прямоугольника.
Кукольный наряд состоит из блузки. Юбки, и гольфов. Сколько различных нарядов может придумать девочка для своей куклы, если у нее есть 3 блузки: белая, желтая и голубая, 2 юбки: короткая и длинная, а так же 3 пары гольфов: в полоску, в горошек и в крапинку?
Проведи в квадрате слева несколько отрезков так, чтобы получились такие же фигуры, как справа (см.тетрадь для контрольных работ).
Контрольная работа №2 по математике
Тема: «»Внетабличное умножение и деление»
36 груш разложили в 4 коробки. Сколько груш в двух таких коробках?
№4.Реши уравнения с проверкой.
№5*. Ваня, Валя и Вася соревновались в метании копья. На вопрос, кто же из них победил, Вася ответил: «Не Валя», Ваня ответил: «Не Вася», а Валя сказал, что победил не Вася. Кто же победил в соревнованиях, если только два мальчика говорят правду?
В девяти коробках 45 карандашей. Сколько карандашей в трех таких коробках?
№4.Реши уравнения с проверкой.
№5*. Аля, Оля и Уля соревновались в прыжках со скакалкой. На вопрос, кто же из них победил, Аля ответила: «Не Уля», Уля ответила: «Не Оля», а Оля сказала, что это была не Уля. Кто же победил в соревнованиях, если только две девочки говорят правду?
Контрольная работа №3 по математике
Дата: _____.2013_г. Класс: 3 «А».
Тема: «Контрольная работа за 1 четверть»
№1. Выясни какие6 высказывания верные, и спиши только верные.
б) 100кв.дм = 1кв.м г) 12л + 6л = 18куб. дм
б) Выполни деление с остатком.
№3. Реши уравнения с проверкой.
№4. Из 63 кг абрикосов получается 7 л сиропа. Сколько нужно взять абрикосов, чтобы получить 9 л сиропа?
№5*. Аля, Оля и Уля соревновались в прыжках со скакалкой. На вопрос, кто же из них победил, Аля ответила: «Не Уля», Уля ответила: «Не Оля», а Оля сказала, что это была не Уля. Кто же победил в соревнованиях, если только две девочки говорят правду?
№6*.Как переложить одну палочку, чтобы получилось верное равенство? (Напиши римскими числами придуманное тобой верное равенство (см. тетрадь для контрольных работ).)
№1. Выясни какие6 высказывания верные, и спиши только верные.
а) 67см – 3дм 8дм – 4дм 4см в) 1000куб.дм = 1куб.м
б) 10кв.см = 1кв.дм г) 2куб.дм + 5куб.дм = 7л
б) Выполни деление с остатком.
№3. Реши уравнения с проверкой.
№4. Из 48 кг свежих яблок получается 6кг сушеных. Сколько нужно взять свежих яблок, чтобы получить 8 кг сушеных?
№5*. Ваня, Валя и Вася соревновались в метании копья. На вопрос, кто же из них победил, Вася ответил: «Не Валя», Ваня ответил: «Не Вася», а Валя сказал, что победил не Вася. Кто же победил в соревнованиях, если только два мальчика говорят правду?
№6*.Как переложить одну палочку, чтобы получилось верное равенство? (Напиши римскими числами придуманное тобой верное равенство (см. тетрадь для контрольных работ).)
Контрольная работа №3 по математике
№2. Выпиши доли прямоугольника в порядке убывания.
(см.тетрадь для контрольных работ).
а) Копирование данных длилось 1/5 часа, а затем еще 60 секунд. Сколько минут длилось копирование данных?
б) За 10 минут Наташа прочитывает 2 слова. Сколько слов она прочтет за 1 минуту?
а) Напиши, какое время показывают часы на левом рисунке, если известно, что это первая половина суток.
б) Изобрази на правом рисунке часовую и минутную стрелки так, чтобы часы показывали 15 часов 25 минут (см.тетрадь для контрольных работ).
б) Шестую часть сахара, содержащегося в мешке, отсыпали в кастрюлю. Сколько сахара было в мешке, если в кастрюле его оказалось 8 кг?
Пройди лабиринт. В центре лабиринта записан результат таких действий над числами в воротах: …х…:…=7. Обведи на каждых воротах нужное число (см.тетрадь для контрольных работ).
№2. Выпиши доли круга в порядке возрастания.
(см.тетрадь для контрольных работ).
а) Дождь шел 1/8суток, а затем еще 60 минут. Сколько часов шел дождь?
б) За 12 минут Петя раскрашивает 3 рисунка. Сколько рисунков он раскрасит за 1час?
а) Напиши, какое время показывают часы на левом рисунке, если известно, что это первая половина суток.
б) Изобрази на правом рисунке часовую и минутную стрелки так, чтобы часы показывали 8 часов 50 минут (см.тетрадь для контрольных работ).
б) Седьмую часть книг, стоявших на полке, положили в портфель. Сколько книг было на полке, если в портфеле оказалось 4 книги?
Пройди лабиринт. В центре лабиринта записан результат таких действий над числами в воротах: …х…:…=6. Обведи на каждых воротах нужное число (см.тетрадь для контрольных работ).
Контрольная работа №5 по математике
Дата: _____.201_г. Класс: 3 «А».
Тема: «Контрольная работа за 2 четверть»
№1. а) Запиши пропущенные числа:
б) Запиши наибольшее и наименьшее из записанных тобой чисел в виде суммы разрядных слагаемых.
1)наибольшее трехзначное число;
2)наименьшее двухзначное число.
б) Сравни числа. Запиши их в порядке возрастания.
№4. В школьную библиотеку привезли в 12 одинаковых упаковках 72 словаря. Сколько упаковок понадобится для 90 словарей?
№5*. Построй линейную диаграмму по таблице. Отрезок в 1 см на диаграмме должен обозначать 1 победу.
Количество побед на школьных соревнованиях
№6*. Расставь, где нужно, знаки действий и скобки так, чтобы получилось 96.
№1. а) Запиши пропущенные числа:
б) Запиши наибольшее и наименьшее из записанных тобой чисел в виде суммы разрядных слагаемых.
1)наибольшее однозначное число;
2)наименьшее трехзначное число.
б) Сравни числа. Запиши их в порядке возрастания.
№4. В школьную столовую привезли в 14 одинаковых коробках 70 пакетов сока . Сколько коробок понадобится для 85 пакетов сока?
№5*. Построй линейную диаграмму по таблице. Отрезок в 1 см на диаграмме должен обозначать 1 ученика.
№6*. Расставь, где нужно, знаки действий и скобки так, чтобы получилось 98.
Составила_______________ Глаголева И.И.
Контрольная работа №6 по математике
Тема: «Сложение и вычитание чисел в пределах 1000»
(540+130)-35х2= 143+524= 561+238= 500:100х15-20= 470+40= 359-228=
б) Выполни деление с остатком.
№3. Найди значение выражений при а+в=350.
№4. Маша разложила 96 вишенок поровну в 8 вазочек, а затем положила в каждую вазочку слив на 3 меньше, чем вишенок. Сколько всего слив положила Маша?
№5*. Обведи номера истинных высказываний.
3)Некоторые птицы – жаворонки.
4)Некоторые птицы – не жаворонки.
5)Никакие птицы – не жаворонки.
6)Никакие жаворонки – не птицы.
№6*. а) Выбери верный рисунок, обведи его номер и подпиши каждое множество на этом рисунке латинской буквой (см. тетрадь для контрольных работ).
А – множество всех птиц, В – множество всех рыб, С – множество всех хищников.
б) Придумай название множеств к одному из двух других рисунков. Обведи номер этого рисунка другим цветом.
б) Выполни деление с остатком.
№3. Найди значение выражений при а+в=430.
№4. Юра разложил 84 поплавка поровну в 7 коробочек, а затем положил в каждую коробочку грузил на 2 больше, чем поплавков. Сколько всего грузил положил Юра?
№5*. Обведи номера истинных высказываний.
4) Никакие рыбы – не караси.
6) Некоторые рыбы– не караси.
№6*. а) Выбери верный рисунок, обведи его номер и подпиши каждое множество на этом рисунке латинской буквой (см. тетрадь для контрольных работ).
А – множество всех цветов, В – множество всех роз, С – множество всех тюльпанов.
б) Придумай название множеств к одному из двух других рисунков. Обведи номер этого рисунка другим цветом.
Контрольная работа №7 по математике
Дата: _____.201_г. Класс: 3 «А».
Тема: «Сложение и вычитание чисел в пределах 1000»
№1. а) Вставь пропущенные числа.
б) Запиши третье число в каждом ряду в виде суммы разрядных слагаемых.
№2. Выполни сложение и вычитание в столбик.
700 * 70 1 м 20 см 4мм * 134мм 8ц 4кг * 840кг
567 *675 7 кв. дм * 70 кв. см 30куб. м * 30л
256 * 246 90см * 900мм 6дм * 68см
№4. В трёх ящиках лежит 999 дискет, причём в первом ящике 318
дискет, а во втором -177 дискет. Сколько дискет в третьем ящике?
а) Составь уравнение к задаче и реши её.
б) Составь ещё два уравнения к этой же задаче и реши их.
№5*. Узнай с помощью столбчатой диаграммы.
а) в каком классе больше всего учащихся, меньше всего.
б) сколько учащихся в третьих классах (см. тетрадь для контрольных работ).
№6*. Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:
№1. а) Вставь пропущенные числа.
б) Запиши шестое число в каждом ряду в виде суммы разрядных слагаемых.
№2. Выполни сложение и вычитание в столбик.
20 * 200 2м 50см 6мм * 246мм 3ц 8кг * 38кг
345 * 453 40кв. дм * 4кв. м 900л * 90куб дм
567 * 577 600мм * 6см 5м 7см * 57дм
№4. На трёх полках лежит 1000 тетрадей, причём на первой полке 289 тетрадей, а на второй -356 тетрадей. Сколько тетрадей на третьей полке?
а) Составь уравнение к задаче и реши её.
б) Составь ещё два уравнения к этой же задаче и реши их.
№5*. Узнай с помощью столбчатой диаграммы:
а) в каком классе больше всего учащихся, меньше всего.
б) сколько учащихся в третьих классах (см. тетрадь для контрольных работ).
№6. Вставь числа в пустые клетки так, чтобы квадрат стал магическим:
Составила_______________ Глаголева И.И.
Контрольная работа №8 по математике
Дата: _____.201_г. Класс: 3 «А».
Тема: «Умножение и деление чисел в пределах 1000»
Составила_______________ Глаголева И.И.
№2.В трех больших и нескольких маленьких корпусах турбазы живут 420 человек. Сколько человек живут в каждом большом корпусе, если в маленьких корпусах живут 180 человек?
№3. Реши уравнения с проверкой.
а) вмиллиметрах:54см; 3дм2мм;
б) в сутках: 2недели; 7недель48часов.
№
5.
В виде круга изображены одни сутки из жизни спортивного лагеря. Красным цветом обозначена часть времени, когда ребята тренируются, синим – занимаются уборкой и приготовлением еды, желтым –проводят на море.
Какому занятию ребята посвятили больше всего времени? Меньше всего? Сколько часов они занимались каждым из своих дел?
№6.Переложи по 2 палочки так, чтобы получилось верное равенство.
Контрольная работа за 3 четверть
№1. а) Вычисли, записав решение столбиком.
б) Запиши полученные результаты в порядке убывания.
в) Запиши наименьшее из чисел в виде суммы разрядных слагаемых.
№2. а) Построй квадрат, периметр которого равен 20см.
б) Найди площадь этого квадрата.
№3. Реши уравнения с проверкой.
№4. У Вити значков в три раза больше, чем у Мити, а вместе у них 480 значков. Сколько
значков у Вити и сколько значков у Мити?
№6. В школьной секции борьбы проходят тренировки по самбо и дзюдо. Борьбой самбо занимаются 35 ребят, борьбой дзюдо – 47 ребят, а 12 ребят занимаются сразу двумя видами борьбы. Сколько всего ребят занимаются в секции?
№1. а) Вычисли, записав решение столбиком.
б) Запиши полученные результаты в порядке возрастания.
в) Запиши наименьшее из чисел в виде суммы разрядных слагаемых.
№2. а) Построй квадрат, периметр которого равен 24см.
б) Найди площадь этого квадрата.
№3. Реши уравнения с проверкой.
№4. У Сони наклеек в два раза меньше, чем у Тони, а вместе у них 390наклеек. Сколько
наклеек у Сони и сколько наклеек у Тони?
№6. В кружке иностранных языков 49 ребят. Они изучают испанский и итальянский язык. Испанский язык изучают 27 ребят, а итальянский – 36 ребят. Сколько ребят изучают одновременно два языка?
Контрольная работа за 4 четверть №10.
а) 2мин45с*246с б) 7ч3мин*730мин
в) 3сут9ч*39ч г) 2ч6мин5с*2ч5мин6с
№3.Периметр прямоугольника равен 22см, а одна из его сторон равна 7см.
а) Найди вторую сторону прямоугольника. б) Построй этот прямоугольник.
№4.Сначала автомобиль проехал 320км со скоростью 80км/ч, а затем еще 420км со скоростью 70км/ч. Сколько всего времени заняла поездка?
№5.Реши уравнения с проверкой.
№6.Как с помощью двух кувшинов емкостью 5л и 9л набрать из источника 7л воды, если:
а) имеется большая бочка, где можно накапливать воду;
б) можно пользоваться только кувшинами.
а) 5мин6с*560мин б) 4ч32мин*432мин
в) 2сут21ч*69ч г) 1ч2мин4с*1ч4мин2с
№3.Периметр прямоугольника равен 18см, а одна из его сторон равна 5см.
а) Найди вторую сторону прямоугольника. б) Построй этот прямоугольник.
№4.Сначала велосипедист проехал 48км со скоростью 16км/ч, а затем еще 26км со скоростью 13км/ч. Сколько всего времени заняла поездка?
№5.Реши уравнения с проверкой.
№6.Как с помощью двух ведер емкостью 4л и 11л набрать из водопровода 6л воды, если:
а) имеется большая бочка, где можно накапливать воду;
б) можно пользоваться только ведрами.
Годовая контрольная работа №11-12.
№1. а) Перепиши, вставив пропущенные числа.
б) Сравни числа, запиши их в порядке возрастания.
Х+257=496 216-У=36 Хх9=945 648:У=6
№5.Длина прямоугольника равна 6см, а его площадь равна 24кв.см.
а) Найди ширину этого прямоугольника.
б) Построй этот прямоугольник.
№6.Туристам нужно пройти 38км. Первые три часа они шли со скоростью 6км/ч, а оставшуюся часть пути – со скоростью 5км/ч. Сколько всего времени были в пути туристы?
№7.В первой коробке на 25 карандашей меньше, чем во второй, а в двух коробках вместе 115 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?
№9.Выясни, какие высказывания верные. Спиши только номера верных высказываний:
1) Никакие фрукты – не персики.
3) Некоторые фрукты – персики.
4) Никакие персики – не фрукты.
6) Некоторые фрукты – не персики.
№10.Человек движется со скоростью 18дм/с. Вырази эту скорость в м/мин.
№1. а) Перепиши, вставив пропущенные числа.
б) Сравни числа, запиши их в порядке убывания.
Х+183=561 529-У=89 Хх8=872 623:У=7
№5.Длина прямоугольника равна 7см, а его площадь равна 21кв.см.
а) Найди ширину этого прямоугольника.
б) Построй этот прямоугольник.
№6.Всаднику нужно проскакать 84км. Первые четыре часа он двигался со скоростью 15км/ч, а оставшуюся часть пути – со скоростью 12км/ч. Сколько всего времени был в пути всадник?
№7.На первой клумбе на130 тюльпанов больше, чем на второй, а на двух клумбах вместе470 тюльпанов. Сколько тюльпанов на каждой клумбе?
№9.Выясни, какие высказывания верные. Спиши только номера верных высказываний:
1) Никакие тюльпаны – не цветы.
3) Некоторые цветы – не тюльпаны.
4) Никакие цветы – не тюльпаны.
5) Некоторые цветы – тюльпаны.
№10.Улитка движется со скоростью 24мм/мин. Вырази эту скорость в см/ч.
По материалам multiurok.ru